Конус. Усеченный конус

Конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной кривой и точку вне кривой (рис.32).

Данная кривая называется направляющей , прямые – образующими , точка – вершиной конической поверхности.

Прямой круговой конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной окружности и точку на прямой, которая перпендикулярна плоскости окружности и проходит через ее центр. В дальнейшем эту поверхность будем кратко называть конической поверхностью (рис.33).

Конусом (прямым круговым конусом ) называется геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, которая параллельна плоскости направляющей окружности (рис.34).

Рис. 32 Рис. 33 Рис. 34

Конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей один из катетов треугольника.

Круг, ограничивающий конус, называется его основанием . Вершина конической поверхности называется вершиной конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром его основания, называется высотой конуса. Отрезки, образующие коническую поверхность, называются образующими конуса. Осью конуса называется прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось конуса. Разверткой боковой поверхности конуса называется сектор, радиус которого равен длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Для конуса верны формулы:

где R – радиус основания;

H – высота;

l – длина образующей;

S осн – площадь основания;

S бок

S полн

V – объем конуса.

Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию конуса (рис.35).

Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг оси, содержащей боковую сторону трапеции, перпендикулярную основаниям.

Два круга, ограничивающие конус, называются его основаниями . Высотой усеченного конуса называется расстояние между его основаниями. Отрезки, образующие коническую поверхность усеченного конуса называются образующими . Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью усеченного конуса. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось усеченного конуса.

Для усеченного конуса верны формулы:

(8)

где R – радиус нижнего основания;

r – радиус верхнего основания;

H – высота, l – длина образующей;

S бок – площадь боковой поверхности;

S полн – площадь полной поверхности;

V – объем усеченного конуса.

Пример 1. Сечение конуса параллельное основанию делит высоту в отношении 1:3, считая от вершины. Найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, если радиус основания и высота конуса равны 9 см и 12 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 36).

Для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса используем формулу (8). Найдем радиусы оснований О 1 А и О 1 В и образующую АВ.

Рассмотрим подобные треугольники SO 2 B и SO 1 A , коэффициент подобия , тогда

Отсюда

Так как то

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна:

Ответ: .

Пример2. Четверть круга радиуса свернута в коническую поверхность. Найти радиус основания и высоту конуса.

Решение. Четверить круга является разверткой боковой поверхности конуса. Обозначим r – радиус его основания, H – высота. Площадь боковой поверхности вычислим по формуле: . Она равна площади четверти круга: . Получим уравнение с двумя неизвестными r и l (образующая конуса). В данном случае образующая равна радиусу четверти круга R , значит, получим следующее уравнение: , откуда Зная радиус основания и образующую, найдем высоту конуса:

Ответ: 2 см, .

Пример 3. Прямоугольная трапеция с острым углом 45 О, меньшим основанием 3см и наклонной боковой стороной равной , вращается вокруг боковой стороны перпендикулярной основаниям. Найти объем полученного тела вращения.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 37).

В результате вращения получим усеченный конус, чтобы найти его объем вычислим радиус большего основания и высоту. В трапеции O 1 O 2 AB проведем AC^O 1 B . В имеем: значит, этот треугольник равнобедренный AC =BC =3 см.

Ответ:

Пример 4. Треугольник со сторонами 13 см, 37 см и 40 см вращается вокруг внешней оси, которая параллельна большей стороне и находится от нее на расстоянии 3 см (Ось расположена в плоскости треугольника). Найти площадь поверхности полученного тела вращения.

Решение . Сделаем рисунок (рис. 38).

Поверхность полученного тела вращения состоит из боковых поверхностей двух усеченных конусов и боковой поверхности цилиндра. Для того чтобы вычислить эти площади необходимо знать радиусы оснований конусов и цилиндра (BE и OC ), образующие конусов (BC и AC ) и высоту цилиндра (AB ). Неизвестной является только CO . это расстояние от стороны треугольника до оси вращения. Найдем DC . Площадь треугольника ABC с одной стороны равна произведению половины стороны AB на высоту, проведенную к ней DC , с другой стороны, зная все стороны треугольника, его площадь вычислим по формуле Герона.

В сечении конической поверхности плоскостью получаются кривые второго порядка - окружность, эллипс, парабола и гипербола. В частом случае при определенном расположении секущей плоскости и когда она проходит через вершину конуса (S∈γ), окружность и эллипс вырождаются в точку или в сечении попадает одна или две образующих конуса.

Дает - окружность, когда секущая плоскость перпендикулярна к его оси и пересекает все образующие поверхности.

Дает - эллипс, когда секущая плоскость не перпендикулярна к его оси и пересекает все образующие поверхности.

Построим эллиптическое ω плоскостью α , занимающей общее положение.

Решение задачи на сечение прямого кругового конуса плоскостью значительно упрощается, если секущая плоскость занимает проецирующее положение.

Способом перемены плоскостей проекций переведем плоскость α из общего положения в частное - фронтально-проецирующее. На фронтальной плоскости проекций V 1 построим след плоскости α и проекцию поверхности конуса ω плоскостью дает эллипс, так как секущая плоскость пересекает все образующие конуса. Эллипс проецируется на плоскости проекций в виде кривой второго порядка.
На следе плоскости α V берем произвольную точку 3" замеряем ее удаление от плоскости проекций H и откладываем его по линии связи уже на плоскости V 1 , получая точку 3" 1 . Через нее и пройдет след αV 1 . Линия сечения конуса ω - точки A" 1 , E" 1 совпадает здесь со следом плоскости. Далее построим вспомогательную секущию плоскость γ3, проведя на фронтальной плоскости проекций V 1 ее след γ 3V 1 . Вспомогательная плоскость пересекаясь с конической поверхностью ω даст окружность, а пересекаясь с плоскостью α даст горизонтальную прямую h3. В свою очередь прямая пересекаясь с окружностью дает искомые точки C`и K` пересечения плоскости α c конической поверхностью ω . Фронтальные проекции искомых точек C" и K" построим как точки принадлежащие секущей плоскости α .

Для нахождения точки E(E`, E") линии сечения, проводим через вершину конуса горизонтально-проецирующую плоскость γ 2 H , которая пересечет плоскость α по прямой 1-2(1`-2`, 1"-2") . Пересечение 1"-2" с линией связи дает точку E" - наивысшую точку линии сечения.

Для нахождения точки указывающей границы видимости фронтальной проекции линии сечения, проводим через вершину конуса горизонтально-проецирующую плоскость γ 5 H и находим горизонтальную проекцию F` искомой точки. Также, плоскость γ 5 H пересечет плоскость α по фронтали f(f`, f") . Пересечение f" с линией связи дает точку F" . Соединяем полученные на горизонтальной проекции точки плавной кривой, отметив на ней крайнюю левую точку G - одну из характерных точек линии пересечения.
Затем, строим проекции G на фронтальных плоскостях проекций V1 и V. Все построенные точки линии сечения на фронтальной плоскости проекций V соединяем плавной линией.

Дает - параболу, когда секущая плоскость параллельна одной образующей конуса.

При построении проекций кривых - конических сечений необходимо помнить о теореме: ортогональная проекция плоского сечения конуса вращения на плоскость, перпендикулярную к его оси, есть кривая второго порядка и имеет одним из своих фокусов ортогональную проекцию на эту плоскость вершины конуса.

Рассмотрим построение проекций сечения, когда секущая плоскость α параллельна одной образующей конуса (SD) .

В сечении получится парабола с вершиной в точке A(A`, A") . Согласно теореме вершина конуса S проецируется в фокус S` . По известному =R S` определяем положение директрисы параболы. В последующем точки кривой строятся по уравнению p=R .

Построение проекций сечения, когда секущая плоскость α параллельна одной образующей конуса, может быть выполнено:

С помощью вспомогательных горизонтально-проецирующих плоскостей проходящих через вершину конуса γ 1 H и γ 2 H .

Сначала определятся фронтальные проекции точек F", G" - на пересечении образующих S"1", S"2" и следа секущей плоскости α V . На пересечении линий связи с γ 1 H и γ 2 H определяться F`, G` .

Аналогично могут быть определены и другие точки линии сечения, например D", E" и D`, E` .

С помощью вспомогательных фронтально-проецирующих плоскостей ⊥ оси конуса γ 3 V и γ 4 V .

Проекциями сечения вспомогательных плоскостей и конуса на плоскость H , будут окружности. Линиями пересечения вспомогательных плоскостей с секущей плоскостью α будут фронтально- проецирующие прямые.

Дает - гиперболу, когда секущая плоскость параллельна двум образующим конуса.

Определения:
Определение 1. Конус
Определение 2. Круговой конус
Определение 3. Высота конуса
Определение 4. Прямой конус
Определение 5. Прямой круговой конус
Теорема 1. Образующие конуса
Теорема 1.1. Осевое сечение конуса

Объем и площади :
Теорема 2. Объем конуса
Теорема 3. Площадь боковой поверхности конуса

Усеченный конус :
Теорема 4. Сечение, параллельное основанию
Определение 6. Усеченный конус
Теорема 5. Объем усеченного конуса
Теорема 6. Площадь боковой поверхности усеченного конуса

Определние
Тело ограниченное с боков конической поверхностью, взятой между её вершиной и плоскостью направляющей, и плоским основанием направляющей, образованным замкнутой кривой, называется конусом.

Основные понятия
Круговым конусом называют тело, которое состоит из круга (основания), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины) и всех отрезков соединяющих вершину с точками основания.

Прямым конусом называется конус, высота которого основанием содержит центр основания конуса.

Рассмотрим какую-либо линию (кривую, ломаную или смешанную)(например, l ), лежащую в некоторой плокости, и произвольную точку (например, М), не лежащую в этой плоскости. Всевозможные прямые, соединяющие точку М со всеми точками данной линии l , образуют поверхность, называемую канонической . Точка М является вершиной такой поверхности, а заданная линия l - направляющей . Все прямые соединяющие точку М со всеми точками линии l , называют образующими . Каноническая поверхность не ограничивается ни её вершиной, ни направляющей. Она простирается неограниченно в обе стороны от вершины. Пусть теперь направляющая - замкнутая выпуклая линия. Если направляющая - ломаная линия, то тело, ограниченное с боков канонической поверхностью, взятой между её вершиной и плокостью направляющей, и плоским основанием в плоскости направляющей, называется пирамидой .
Если же направляющая - кривая или смешанная линия, то тело, ограниченное с боков канонической поверхностью, взятой между её вершиной и плокостью направляющей, и плоским основанием в плоскости направляющей, называется конусом или
Определение 1 . Конусом называют тело, состоящее из основания - плоской фигуры, ограниченной замкнутой линией (кривой или смешанной), вершины - точки, не лежащей в плокости основания, и всех отрезков, соединяющих вершину со всевозможными точками основания.
Все прямые, проходящие через вершину конуса и любую из точек кривой, ограничивающей фигуру основания конуса, называются образующими конуса. Чаще всего в геометрических задачах под образующей прямой имеется ввиду отрезок этой прямой, заключенный между вершиной и плоскостью основания конуса.
Основание ограниченной смешанной линией - это очень редкий случай. Он сдесь указан только потому, что он может быть рассмотрен в геометрии. Чаще рассматривается случай с криволинейной направляющей. Хотя, что случай с произвольной кривой, что случай со смешанной направляющей, мало чем полезен и в них сложно вывести какие-любо закономерности. Из числа конусов в курсе элементарной геометрии изучается прямой круговой конус.

Известно, что окружность есть частный случай замкнутой кривой линии. Круг - плоская фигура, ограниченная окружностью. Принимая окружность за направляющую, можно определеить круговой конус.
Определение 2 . Круговым конусом называют тело, которое состоит из круга (основания), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины) и всех отрезков соединяющих вершину с точками основания.
Определение 3 . Высота конуса - перпендикуляр, опущенный из вершины на плокость основания конуса. Можно выделить конус, высота которого падает в центр плоской фигуры основания.
Определение 4 . Прямым конусом называется конус, высота которого основанием содержит центр основания конуса.
Если связать эти два определения, мы получим конус, основание котрого есть круг, а высота падает в центр этого круга.
Определение 5 . Прямым круговым конусом называют конус, основание котрого есть круг, а высота его соединяет вершину и центр основания данного конуса. Такой конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Поэтому прямой круговой конус является телом вращения и называется также конусом вращения. Если не оговорено противное, то для краткости в дальнейшем говорим просто конус.
Итак приведем некоторые свойства конуса:
Теорема 1 . Все образующие конуса равны. Доказательство. Высота МО перпендикулярна всем прямым основания по определению перпендикулярной прямой к плокости. Поэтому треугольники МОА, МОВ и МОС являются прямоугольными и равны по двум катетам (МО - общая, ОА=ОВ=ОС - радиусы основания. Поэтому равны и гипотенузы, т.е. образующие.
Радиус основания конуса иногда называют радиусом конуса . Высота конуса называется также осью конуса , поэтому любое сечение, проходящее через высоту называется осевым сечением . Любое осевое сечение пересекает основание по диаметру (т.к. прямая, по которой пересекаются осевое сечение и плокость основания, проходит через центр окружности) и образует равнобедренный треугольник.
Теорема 1.1. Осевое сечение конуса есть равнобедренный треугольник. Так треугольник АМВ является равнобедренным, т.к. две его стороны МВ и МА есть образующие. Угол АМВ является углом при вершине осевого сечения.

Елена Голубева

Презентация для изучения темы "Тела вращения".

Конус – это тело, которое состоит из круга. Круг является основанием конуса .

Вершиной конуса – являются точки не лежащие в плоскости этого круга и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса .

Прямой конус – если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярно плоскости основания.

Высота конуса – перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания.

Ось прямого кругового конуса – это прямая, содержащая его высоту.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

К о н у с

Наглядно прямой круговой конус можно представить себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.

Конус – это тело, которое состоит из круга. Круг является основанием конуса. Вершиной конуса – являются точки не лежащие в плоскости этого круга и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Прямой конус – если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярно плоскости основания. Высота конуса – перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Ось прямого кругового конуса – это прямая, содержащая его высоту.

Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r , его высота – h , а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d . Найдите h , если r = 10 дм, d = 8 дм, АВ = 13 дм. ЗАДАЧА Дано: Цилиндр, r = 10 дм – радиус основания, d = 8 дм – расстояние от ОО1 до АВ, АВ = 13 дм, h – высота. Найти: h . А 1 О О 1 В 1 K Решение: Построим секущую плоскость ВВ 1 АА 1 , параллельную оси цилиндра, в которой лежит прямая АВ. Получили прямоугольник с диагональю АВ. ВВ 1 АА 1 ║ОО 1 . ВВ 1 = АА 1 = h . ВАВ 1 – прямоугольный. По теореме Пифагора: ВВ 1 = √ АВ ² - АВ 1 ² Найдем АВ 1: ∆ОАВ1 – равнобедренный (ОА = ОВ1 = r). ОК = d т. к. ОК ┴ АВ1 (высота ∆ ОАВ1), то ОК – медиана (К – середина отрезка АВ1). ∆АОК – прямоугольный, по теореме Пифагора: КА = √ ОА ² - ОК ² , КА = √ 10 ² - 8 ² = 6 дм АВ1 = 2 · КА = 6 · 2 = 12 дм ВВ1 = √ 13 ² - 12 ² = √ (13 - 12)(13 + 12) = 5 дм, h = ВВ1 = 5 дм.

Дано: цилиндр ABCD – сечение, квадрат дуга AD - 90 ° R = 4 см Найти: S ABCD Решение: S ABCD = AB · BC = BC 2 , т.к. ABCD – квадрат ВОС – прямоугольный, т.к. дуга AD - 90 ° ВОС = 90 ° ОС = ОВ = 4 (см), т.к. ОС и ОВ – радиусы основания ВС = ОВ 2 + ОС 2 = 4 2 + 4 2 = 32 = 4 2 (см) S ABCD = (4 2) 2 = 32 (см 2) Ответ: 32 см 2

Рассмотрим какую-либо линию l (кривую или ломаную), лежащую в некоторой плоскости (рис. 386, а, б), и произвольную точку М, не лежащую в этой плоскости. Всевозможные прямые, соединяющие точку М со всеми точками линии образуют поверхность а; такая поверхность называется конической поверхностью, точка вершиной, линия - направляющей, прямые образующими. На рис. 386 мы не ограничиваем поверхность а ее вершиной, но представляем себе ее простирающейся неограниченно в обе стороны от вершины.

Если коническую поверхность рассечь какой-либо плоскостью, параллельной плоскости направляющей , то в сечении получим линию (кривую или ломаную, в зависимости от того, была ли кривой или ломаной линия ), гомотетичную линии l, с центром гомотетии в вершине конической поверхности. Действительно, отношение любых соответствующих отрезков образующих будет постоянным:

Итак, сечения коническои поверхности плоскостями, параллельными плоскости направляющей, подобны и подобно расположены, с центром подобия в вершине конической поверхности; это же верно для любых параллельных плоскостей, не проходящих через вершину поверхности.

Пусть теперь направляющая - замкнутая выпуклая линия (кривая на рис. 387, а, ломаная на рис. 387, б). Тело, ограниченное с боков конической поверхностью, взятой между ее вершиной и плоскостью направляющей, и плоским основанием в плоскости направляющей, называется конусом (если -кривая линия) или пирамидой (если -ломаная).

Пирамиды классифицируются по числу сторон многоугольника, лежащего в их основании. Говорят о треугольной, четырехугольной и вообще -угольной пирамидах. Заметим, что -угольная пирамида имеет грань: боковых граней и основание. При вершине пирамиды мы имеем -гранный угол с плоскими и двугранными углами.

Они соответственно называются плоскими углами при вершине и двугранными углами при боковых ребрах. При вершинах основания мы имеем трехгранных углов; их плоские углы, образованные боковыми, ребрами и сторонами основания, называются плоскими углами при основании, двугранные углы между боковыми гранями и плоскостью основания - двугранными углами при основании.

Треугольная пирамида иначе называется тетраэдром (т. е. четырехгранником). Любая из ее граней может быть принята за основание.

Пирамида называется правильной при выполнении двух условий: 1) в основании пирамиды лежит правильный многоугольник,

2) высота, опущенная из вершины пирамиды на основание, пересекает его в центре этого многоугольника (иначе говоря, вершина пирамиды проектируется в центр основания).

Заметим, что правильная пирамида не является, вообще говоря, правильным многогранником!

Отметим некоторые свойства правильной -угольной пирамиды. Проведем через вершину такой пирамиды высоту SO (рис. 388).

Повернем всю пирамиду как целое вокруг этой высоты на угол При таком повороте многоугольник основания перейдет сам в себя: каждая из его вершин займет положение соседней. Вершина пирамиды и ее высота (ось вращения!) останутся на месте, и поэтому пирамида как целое совместится сама с собой: каждое боковое ребро перейдет в соседнее, каждая боковая грань совместится с соседней, каждый двугранный угол при боковом ребре также совместится с соседним.

Отсюда вывод: все боковые ребра равны между собой, все боковые грани суть равные равнобедренные треугольники, все двугранные углы при основании равны, все плоские углы при вершине равны, все плоские углы при основании равны.

Из числа конусов в курсе элементарной геометрии мы изучаем прямой круговой конус, т. е. такой конус, основание которого круг, а вершина проектируется в центр этого круга.

Прямой круговой конус показан на рис. 389. Если проведем через вершину конуса высоту SO и повернем конус вокруг этой высоты на произвольный угол, то окружность основания будет скользить сама по себе; высота и вершина останутся на месте, поэтому при повороте на любой угол конус совместится сам с собой. Отсюда видно, в частности, что все образующие конуса равны между собой и одинаково наклонены к плоскости основания. Сечения конуса плоскостями, проходящими через его высоту, будут равнобедренными треугольниками, равными между собой. Весь конус получается от вращения прямоугольного треугольника SOA вокруг его катета (который становится высотой конуса). Поэтому прямой круговой конус является телом вращения и также называется конусом вращения. Если не оговорено противное, мы для краткости в дальнейшем говорим просто «конус», понимая под этим конус вращения.

Сечения конуса плоскостями, параллельными плоскости его основания, суть круги (хотя бы потому, что они гомотетичны кругу основания).

Задача. Двугранные углы при основании правильной треугольной пирамиды равны а. Найти двугранные углы при боковых ребрах.

Решение. Обозначим временно сторону основания пирамиды через а. Проведем сечение пирамиды плоскостью, содержащей ее высоту SO и медиану основания AM (рис. 390).