Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке. Непрерывность функции на отрезке
Определение
Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале, содержащем точку `ainR`. Точка `a` называется точкой локального максимума
функции `f`, если существует `epsilon` - окрестность точки `a` что для любого `x!=a` из этой окрестности `f(x) Если выполнено неравенство `f(x)>f(a)`, то `a` называется точкой локального минимума
функции `f`. Точки локального максимума и локального минимума называют точками локального экстремума.
Теорема 5.1 (Ферма)
Если точка `a` является точкой локального экстремума функции `y=f(x)` и функция `f` имеет производную в этой точке, то `f^"(a)=0`. Физический смысл: при одномерном движении с возвращением в точке максимального удаления должна быть остановка. Геометрический смысл: касательная в точке локального экстремума горизонтальна. Замечание. Из теоремы Ферма следует, что если функция имеет экстремум в точке `a`, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует. Например, функция `y=|x|` имеет минимум в точке `x=0`, а производная в этой точке не существует (см. пример 4.2). Точки, в которых функция определена, а производная равна нулю или не существует, будем называть критическими
.
Итак, если у функции имеются точки экстремума, то они лежат среди критических точек (критические точки «подозрительны» на экстремум). Для формулировки условий, обеспечивающих наличие экстремума в критической точке, нам потребуется следующее понятие. Напомним, что под промежутком понимается интервал (конечный или бесконечный), полуинтервал или отрезок числовой прямой. Определение
Пусть функция `y=f(x)` определена на промежутке `I`. 1) Функция `y=f(x)` возрастает
2) Функция `y=f(x)` убывает
на `I`, если для любых `x,yinI`, `x Если функция возрастает или убывает на `I`, то говорят, что функция монотонна
на промежутке `I`. Условия монотонности
. Пусть функция `y=f(x)` определена на промежутке `I` с концами `a`, `b`, дифференцируема на `(a, b)` и непрерывна в концах, если они принадлежат `I`. Тогда 1) если `f^"(x)>0` на `(a, b)`, то функция возрастает на `I`; 2) если `f^"(x)<0` на `(a, b)`, то функция убывает на `I`. Условия экстремума
. Пусть функция `y=f(x)` определена на интервале `(ab)`, непрерывна в точке `x_0 in(a, b)` и дифференцируема на `(a,x_0) uu (x_0,b)`. Тогда 1) если `f^"(x)>0` на `(a;x_0)` и `f^"(x)<0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального максимума функции `f`; 2) если `f^"(x)<0` на `(a;x_0)` и `f^"(x)>0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального минимума функции `f`. Пример 5.1 Исследовать функцию `y=x^3-3x` на монотонность и экстремумы на области определения. Данная функция определена на `R` и дифференцируема в каждой точке (см. следствие теоремы 4.2), причём `y^"=3(x^2-1)`. Так как `y^"<0` при `x in(-1,1)`; `y^">0` при `x in(-oo,-1)uu(1,+oo)`, то функция возрастает на лучах `(-oo,-1]` и ``. По условию экстремума `x=-1` - точка локального максимума, а `x=1` - точка локального минимума. Так как `y^"=0` только в точках `x=1` и `x=-1`, то по теореме Ферма других точек экстремума у функции нет. Рассмотрим важный класс задач, в которых используется понятие производной - задачи нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Пример 5.2 Найти наибольшее и наименьшее значение функции `y=x^3-3x` на отрезке: а) `[-2;0]`; б) ``. а) Из примера 5.1 следует, что функция возрастает на `(-oo,-1]` и убывает на `[-1,1]`. Так что `y(-1)>=y(x)` при всех `x in[-2;0]` и `y_"наиб"=y(-1)=2` - наибольшее значение функции на отрезке `[-2;0]`. Чтобы найти наименьшее значение, нужно сравнить значения функции на концах отрезка. Поскольку `y(-2)=-2`, а `y(0)=0`, то `y_"наим"=-2` - наименьшее значение функции на отрезке `[-2;0]`. б) Так как на луче ``, поэтому `y_"наим"=y(1)=-2`, `y_"наиб"=y(3)=18`.
Замечание Отметим, что непрерывная на отрезке функция всегда имеет наибольшее и наименьшее значение. Пример 5.3 Найти наибольшее и наименьшее значение функции `y=x^3-12|x+1|` на отрезке `[-4;3]`. Отметим, что функция непрерывна на всей числовой прямой. Обозначим `f_1(x)=x^3+12(x+1)`, `f_2(x)=x^3-12(x+1)`. Тогда `y=f_1(x)` при `-4<=x<=-1` и `y=f_2(x)` при `-1<=x<=3`. Находим `f_1^"(x)=3x^2+12`, `f_2^"(x)=3x^2-12`. Уравнение `f_1^"(x)=0` не имеет действительных корней, а уравнение `f_2^"(x)=0` имеет два действительных корня `x_1=-2`, `x_2=2`, из которых интервалу `(-1;3)` принадлежит только точка `x_2`. В точке `x=-1` функция определена, но не имеет производной (можно, например, провести рассуждения, аналогичные рассуждениям примера 4.2). Итак, имеется две критические точки: `x=-1` и `x=2`. Производная `y^"(x)=f_1^"(x)>0` на `(-4;-1)`, `y^"(x)=f_2^"(x)<0` на `(-1;2)` и `y^"(x)=f_2^"(x)>0` на `(2;3)`. Запишем все исследования в таблице: `y_"наиб"=-1`; `y_"наим"=-100`.
Непрерывность элементарных функций
Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах. Теорема.
Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю). Теорема.
Пусть функции u
= φ
(x
) непрерывна в точке х
0 , а функция y
= f
(u
) непрерывна в точке u
0 = φ
(х
0). Тогда сложная функция f
(φ
(x
)) состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке x
0 . Теорема.
Если функция у
= f
(х
) непрерывна и строго монотонна на [а
; b
] оси Ох
, то обратная функция у
= φ
(х
) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c
;d
] оси Оу
(без доказательства). Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств. Теорема (Вейерштрасса)
. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. Изображенная на рисунке 5 функция у
= f
(x
) непрерывна на отрезке [а
; b
], принимает свое наибольшее значение М
в точке x
1 , а наименьшее m -
в точке х
2 . Для любого х
[а
; b
] имеет место неравенство m
≤ f
(x
) ≤ М
. Следствие.
Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке. Теорема (Больцано - Коши).
Если функция у
= f
(x
) непрерывна на отрезке [a
; b
] и принимает на его концах неравные значения f
(a
) = A
и f
(b
) = =В
, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А
и В
. Геометрически теорема очевидна (см. рис. 6). Для любого числа С
, заключенного между А
и В
, найдется точка с
внутри этого отрезка такая, что f
(с
) = С
. Прямая у
= С
пересечет график функции по крайней мере в одной точке. Следствие.
Если функция у
= f
(x
) непрерывна на отрезке [а
; b
] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [а
; b
] найдется хотя бы одна точка с
, в которой данная функция f
(x
) обращается в нуль: f
(с
) = 0. Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох
на другую, то он пересекает ось Ox
(см. рис. 7). Рис. 7. Определение и формулировки основных теорем для функций, непрерывных на отрезке. Сюда входят: первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции; вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции; теорема Больцано – Коши о промежуточном значении. См. также:
Непрерывность функции в точке - свойства и теоремы
Определение функции, непрерывной на отрезке
Определение достижимости максимума (минимума)
Определение достижимости верхней (нижней) грани
Легко заметить, что эти определения эквивалентны. Если при ,
Различие между максимумом (минимумом) и верхней (нижней) гранью в том, что максимум (минимум) принадлежит множеству (в данном случае множеству значений функции), а верхняя (нижняя) грань может не принадлежать этому множеству. Пусть, например, на открытом интервале задана функция .
На этом интервале функция имеет верхнюю и нижнюю грани: Любое множество, в котором определены операции сравнения, имеет верхнюю и нижнюю грани. Эта теорема означает, что существуют такие точки и ,
принадлежащие отрезку :
,
значения функции в которых равны, соответственно, нижней и верхней граням: Использованная литература: На рисунках ниже показано, где функция может достигать наименьшего и наибольшего значения.
На левом рисунке наименьшее и наибольшее значения зафиксированы в точках локального минимума и максимума
функции. На правом рисунке - на концах отрезка. Если функция y
= f
(x
)
непрерывна на отрезке [a
, b
]
,
то она достигает на этом отрезке наименьшего
и наибольшего значений
. Это, как
уже говорилось, может произойти либо в точках экстремума
, либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего
и наибольшего значений функции
,
непрерывной на отрезке [a
, b
]
, нужно
вычислить её значения во всех критических точках
и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее
и наибольшее. Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции
f
(x
)
на отрезке [a
, b
]
.
Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [a
, b
]
. Критической точкой
называется точка, в которой
функция определена
, а её
производная
либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических
точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и
на концах отрезка (f
(a
)
и f
(b
)
).
Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке
[a
, b
]
. Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений
функции
. Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
[-1, 2]
. Решение. Находим производную данной функции .
Приравняем производную нулю ()
и получим две критические точки: и
. Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на
концах отрезка и в точке ,
так как точка не
принадлежит отрезку [-1, 2]
. Эти значения функции - следующие: ,
,
. Из этого следует, что
наименьшее значение функции
(на графике ниже обозначено красным), равное -7, достигается на правом конце отрезка - в точке
, а наибольшее
(тоже
красное на графике), равно 9,
- в критической точке . Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком
(а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок),
то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая
на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[
и не имеет
наибольшего значения. Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо
следующее свойство непрерывных функций. Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных
. Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
[-1, 3]
. Решение. Находим производную данной функции как производную частного: . Приравниваем производную нулю,
что даёт нам одну критическую точку: .
Она принадлежит отрезку [-1, 3]
. Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на
концах отрезка и в найденной критической точке: Сравниваем эти значения. Вывод: , равного -5/13,
в точке и наибольшего
значения
, равного 1, в точке
. Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции
не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция -
многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой - многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами,
поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных).
Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция. Пример 8. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
. Решение. Находим производную данной функции как производную произведения
: Приравниваем производную нулю, что даёт
одну критическую точку: .
Она принадлежит отрезку
. Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на
концах отрезка и в найденной критической точке: Результат всех действий: функция достигает наименьшего значения
, равного 0,
в точке и в точке
и наибольшего
значения
, равного e
²
, в точке
. Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных
. Пример 9. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
. Решение. Находим производную данной функции: Приравниваем производную нулю: Единственная критическая точку
принадлежит отрезку . Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на
концах отрезка и в найденной критической точке: Вывод: функция достигает наименьшего значения
, равного ,
в точке и наибольшего
значения
, равного , в точке
. В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений
функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют
не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении
прикладных задач возникает дополнительная трудность - составление функций, описывающих рассматриваемое
явление или процесс. Пример 10.
Резервуар ёмкостью 4 ,
имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы
должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала? Решение. Пусть x
- сторона основания, h
- высота резервуара,
S
- площадь его поверхности без крышки, V
- его объём. Площадь поверхности резервуара
выражается формулой ,
т.е. является функцией двух переменных .
Чтобы выразить S
как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что ,
откуда . Подставив
найденное выражение h
в формулу для S
: Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в
]0, +∞[
, причём . Приравниваем производную нулю ()
и находим критическую точку . Кроме того,
при производная не
существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума.
Итак, - единственная
критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём
вторую производную .
При вторая производная
больше нуля (). Значит, при
функция достигает
минимума . Поскольку
этот минимум - единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением
. Итак,
сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота . Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться Определение 4. Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (в точке a непрерывна справа, т.е. , а в точке b непрерывна слева, т. е.). Все основные элементарные функции непрерывны в области их определения. Свойства функций, непрерывных на отрезке: функция непрерывность точка отрезок Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. Если - точка разрыва функции, то в ней не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, указанных в определениях 1, 2, а именно: 1) Функция определена в окрестности точки, но не определена в самой точке. Так функция, рассмотренная в примере 2 а) имеет разрыв в точке, так как не определена в этой точке. 2) Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы и, но они не равны между собой: . Например, функция из примера 2 б) определена в точке и ее окрестности, но, так как, а. 3) Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы и, они равны между собой, но не равны значению функции в точке: . Например, функция. Здесь - точка разрыва: в этой точке функция определена, существуют односторонние пределы и, равные между собой, но, т. е. . Точки разрыва функции классифицируются следующим образом. Определение 5. Точка называется точкой разрыва первого рода функции, если в этой точке существуют конечные пределы и, но они не равны между собой: . Величина называется при этом скачком функции в точке. Определение 6 . Точка называется точкой устранимого разрыва функции, если в этой точке существуют конечные пределы и, они равны между собой: , но сама функция не определена в точке, или определена, но. Определение 7. Точка называется точкой разрыва второго рода функции, если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов (или) не существует или равен бесконечности. Пример 3. Найти точки разрыва следующих функций и определить их тип: а) б) Решение. а) Функция определена и непрерывна на интервалах, и, так как на каждом из этих интервалов она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, точками разрыва данной функции могут быть только те точки, в которых функция меняет свое аналитическое задание, т.е. точки и. Найдем односторонние пределы функции в точке: Так как односторонние пределы существуют и конечны, но не равны между собой, то точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции: Для точки находим.Определения и теоремы
Функция называется непрерывной на отрезке (при ), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (при ) и непрерывна справа и слева в точках a
и b
,
соответственно.Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции
Если функция непрерывна на отрезке ,
то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство
Функция достигает своего максимума (минимума) на множестве ,
если существует такой аргумент ,
для которого
для всех .
Функция достигает своей верхней (нижней) грани на множестве ,
если существует такой аргумент ,
для которого
.
,
то .
Если ,
то .
.
Но максимума и минимума не имеет. Действительно, для любого всегда можно указать такие числа и ,
принадлежащие ,
значения функции от которых будут больше и меньше :
.
На отрезке функция имеет как верхнюю и нижнюю грани, так максимум и минимум:
.
Также верхняя (нижняя) грань может равняться плюс (минус) бесконечности: ,
а максимум (минимум) не может быть бесконечным числом.Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции
Непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое, достигает на отрезке своего максимума и минимума.
Доказательство
.
Поскольку, исходя из определений верхней и нижней граней:
при ,
при ,
и поскольку ,
то и являются минимумом и максимумом функции на отрезке .
Вторая теорема Больцано - Коши о промежуточном значении
Пусть функция непрерывна на отрезке .
И пусть C
есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: и .
Тогда существует точка ,
для которой
.
непрерывна на отрезке .
И пусть .
Тогда функция принимает на отрезке все значения из и только эти значения:
при .
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.Ищем наименьшее и наибольшее значения функции вместе
Продолжаем искать наименьшее и наибольшее значения функции вместе
Точки разрыва функции и их классификация