Различные виды уравнения плоскости. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
12.1. Основные понятия
Поверхность и ее уравнение
Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке О 1 есть геометрическое место всех точек пространства, находящихся от точки O 1 на расстоянии R.
Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками чисел х, у и z - их координатами. Свойство, общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности.
Уравнением данной поверхности в прямоугольной системе координат Oxyz называется такое уравнение F(x, у, z) = 0 с тремя переменными х, у и z, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности. Переменные х, у и z в уравнении поверхности называются текущими координатами точек поверхности.
Уравнение поверхности позволяет изучение геометрических свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, для того, чтобы узнать, лежит ли точка M 1 (x 1 ;y 1 ;z 1) на данной поверхности, достаточно подстави ть координаты точки M 1 в уравнение поверхности вместо переменных: если эти координаты удовлетворяют уравнению, то точка лежит на поверхности, если не удовлетворяют - не лежит.
Уравнение сферы
Найдем уравнение сферы радиуса R с центром в точке O 1 (x 0 ;y 0 ;z 0). Согласно определению сферы расстояние любой ее точки М(х; у; z) от центра O 1 (x 0 ;y 0 ;z 0) равно радиусу R, т. е. O 1 M= R. Но , где . Следовательно,
Это и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координаты любой ее точки и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере.
Если центр сферы Ο 1 совпадает с началом координат, то уравнение сферы принимает вид .
Если же дано уравнение вида F(x;y;z) = 0 , то оно, вообще говоря, определяет в пространстве некоторую поверхность.
Выражение «вообще говоря» означает, что в отдельных случаях уравнение F(x; y; z)=0 может определять не поверхность, а точку, линию или вовсе не определять никакой геометрический образ. Говорят, «поверхность вырождается».
Так, уравнению не удовлетворяют никакие действительные значения х, у, z. Уравнению удовлетворяют лишь координаты точек, лежащих на оси Ох (из уравнения следует: у = 0, z = 0, а х - любое число).
Итак, поверхность в пространстве можно задать геометрически и аналитически. Отсюда вытекает постановка двух основных задач:
1. Дана поверхность как геометрическое место точек. Найти уравнение этой поверхности.
2. Дано уравнение F(x;y;z) = 0. Исследовать форму поверхности, определяемой этим уравнением.
Уравнения линии в пространстве
Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей (см. рис. 66) или как геометрическое место точек, общих двум поверхностям.
Если и - уравнения двух поверхностей, определяющих линию L, то координаты точек этой линии удовлетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными:
(12.1)
Сравнения системы (12.1) называются уравнениями линии в пространстве. Например, есть уравнения оси Ох.
Линию в пространстве можно рассматривать как траекторию движения точки (см. рис. 67). В этом случае ее задают векторным уравнением
или параметрическими уравнениями
проекций вектора (12.2) на оси координат.
Например, параметрические уравнения винтовой линии имеют вид
Если точка Μ равномерно движется по образующей кругового цилиндра, а сам цилиндр равномерно вращается вокруг оси, то точка Μ описывает винтовую линию (см. рис. 68).
12.2. Уравнения плоскости в пространстве
Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве Oxyz можно задать разными способами. Каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой и вектором , перпендикулярным этой плоскости (см. рис. 69). Выведем уравнение плоскости Q. Возьмем на ней произвольную точку и составим вектор . При любом расположении точки Μ на плоскости Q векторы и взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю: , т. е.
(12.3)
Координаты любой точки плоскости Q удовлетворяют уравнению (12.3), координаты точек, не лежащих на плоскости Q, этому уравнению не удовлетворяют (для них ).
Уравнение (12.3) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно вектору . Оно первой степени относительно текущих координат x, y, z. Вектор называется нормальным вектором плоскости.
Придавая коэффициентам А, В и С уравнения (12.3) различные значения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей череp точку . Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей, а уравнение (12.3) - уравнением связки плоскостей.
Общее уравнение плоскости
Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными х, у и z:
Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А, В или С не равен нулю, например , перепишем уравнение (12.4) в виде
Сравнивая уравнение (12.5) с уравнением (12.3), видим, что уравнения (12.4) и (12.5) являются уравнением плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку .
Итак, уравнение (12.4) определяет в системе координат Oxyz некоторую плоскость. Уравнение (12.4) называется общим уравнением плоскости.
Частные случаи общего уравнения плоскости:
1. Если D = 0, то оно принимает вид . Этому уравнению удовлетворяет точка . Следовательно, в этом случае плоскость проходит через начало координат.
2. Если С = 0, то имеем уравнение . Нормальный вектор перпендикулярен оси Οz. Следовательно, плоскость параллельна оси Οz; если B = 0 - параллельна оси Оу, А = 0 - параллельна оси Ох.
3. Если С = D = 0, то плоскость проходит через параллельно оси Οz, т. е. плоскость проходит через ось Οz. Аналогично, уравнениям и отвечают плоскости, проходящие соответственно через оси Ох и Оу.
4. Если А = В = 0, то уравнение (12.4) принимает вид , т. е. Плоскость параллельна плоскости Оху. Аналогично, уравнениям и отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям Oyz и Οxz.
5. Если A = B = D = 0, то уравнение (12.4) примет вид , т. е. z = 0. Это уравнение плоскости Оху. Аналогично: у = 0 - уравнение плоскости Οxz; x = О - уравнение плоскости Oyz.
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q, проходящей через три данные точки M 1 (x 1 ;y 1 ;z 1), М 2 (x 2 ;y 2 ;z 2) и М 3 (х 3 ,y 3 ,z 3), не лежащие на одной прямой.
Возьмем на плоскости произвольную точку M(x;y;z) и составим векторы , , . Эти векторы лежат на плоскости Q, следовательно, они компланарны. Используем условие компланарности трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем , т. е.
(12.6)
Уравнение (12.6) есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
Уравнение плоскости в отрезках
Пусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу и Оz соответственно отрезки a , b и c , т. е. проходит через три точки A(a;0;0) , B(0;b;0) и C(0;0;c) (см.рис. 70). Подставляя координаты этих точек в уравнение (12.6), получаем
Раскрыв определитель, имеем , т. е. или
(12.7)
Уравнение (12.7) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Им удобно пользоваться при построении плоскости.
Нормальное уравнение плоскости
Положение плоскости Q вполне определяется заданием единичного вектора , имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного на
плоскость из начала координат, и длиной p этого перпендикуляра (см. рис. 71).
Пусть ОК = p , а α, β, g - углы, образованные единичным вектором ё с осями Ох, Оу и Οz. Тогда . Возьмем на плоскости произвольную точку М(х; у; z) и соединим ее с началом координат. Образуем вектор . При любом положении точки Μ на плоскости Q проекция радиус-вектора на направление вектора всегда равно р: , т. е. или
(12.8)
Уравнение (12.8) называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме. Зная координаты векторов f и e , уравнение (12.8) перепишем в виде
Уравнение (12.9) называется нормальным уравнением плоскости в координатной форме.
Отметим, что общее уравнение плоскости (12.4) можно привести к нормальному уравнению (12.9) так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости. А именно: умножить обе части уравнения (12.4) на нормирующий множитель , где знак берется противоположным знаку свободного члена D общего уравнения плоскости.
В этом уроке мы рассмотрим, как с помощью определителя составить уравнение плоскости . Если вы не знаете, что такое определитель, зайдите в первую часть урока - «Матрицы и определители ». Иначе вы рискуете ничего не понять в сегодняшнем материале.
Уравнение плоскости по трем точкам
Зачем вообще нужно уравнение плоскости? Все просто: зная его, мы легко высчитаем углы, расстояния и прочую хрень в задаче C2. В общем, без этого уравнения не обойтись. Поэтому сформулируем задачу:
Задача. В пространстве даны три точки, не лежащие на одной прямой. Их координаты:
M = (x 1 , y 1 , z 1);
N = (x 2 , y 2 , z 2);
K = (x 3 , y 3 , z 3);Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Причем уравнение должно иметь вид:
Ax + By + Cz + D = 0
где числа A , B , C и D - коэффициенты, которые, собственно, и требуется найти.
Ну и как получить уравнение плоскости, если известны только координаты точек? Самый простой способ - подставить координаты в уравнение Ax + By + Cz + D = 0. Получится система из трех уравнений, которая легко решается.
Многие ученики считают такое решение крайне утомительным и ненадежным. Прошлогодний ЕГЭ по математике показал, что вероятность допустить вычислительную ошибку действительно велика.
Поэтому наиболее продвинутые учителя стали искать более простые и изящные решения. И ведь нашли! Правда, полученный прием скорее относится к высшей математике. Лично мне пришлось перерыть весь Федеральный перечень учебников, чтобы убедиться, что мы вправе применять этот прием без каких-либо обоснований и доказательств.
Уравнение плоскости через определитель
Хватит лирики, приступаем к делу. Для начала - теорема о том, как связаны определитель матрицы и уравнение плоскости.
Теорема. Пусть даны координаты трех точек, через которые надо провести плоскость: M = (x 1 , y 1 , z 1); N = (x 2 , y 2 , z 2); K = (x 3 , y 3 , z 3). Тогда уравнение этой плоскости можно записать через определитель:
Для примера попробуем найти пару плоскостей, которые реально встречаются в задачах С2. Взгляните, как быстро все считается:
A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);
Составляем определитель и приравниваем его к нулю:
Раскрываем определитель:
a
= 1 · 1 · (z
− 1) + 0 · 0 · x
+ (−1) · 1 · y
= z
− 1 − y;
b
= (−1) · 1 · x
+ 0 · 1 · (z
− 1) + 1 · 0 · y
= −x;
d
= a
− b
= z
− 1 − y
− (−x
) = z
− 1 − y
+ x
= x
− y
+ z
− 1;
d
= 0 ⇒ x
− y
+ z
− 1 = 0;
Как видите, при расчете числа d я немного «причесал» уравнение, чтобы переменные x , y и z шли в правильной последовательности. Вот и все! Уравнение плоскости готово!
Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:
A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);
Сразу подставляем координаты точек в определитель:
Снова раскрываем определитель:
a
= 1 · 1 · z
+ 0 · 1 · x
+ 1 · 0 · y
= z;
b
= 1 · 1 · x
+ 0 · 0 · z
+ 1 · 1 · y
= x
+ y;
d
= a
− b
= z
− (x
+ y
) = z
− x
− y;
d
= 0 ⇒ z
− x
− y
= 0 ⇒ x
+ y
− z
= 0;
Итак, уравнение плоскости снова получено! Опять же, на последнем шаге пришлось поменять в нем знаки, чтобы получить более «красивую» формулу. Делать это в настоящем решении совсем не обязательно, но все-таки рекомендуется - чтобы упростить дальнейшее решение задачи.
Как видите, составлять уравнение плоскости теперь намного проще. Подставляем точки в матрицу, считаем определитель - и все, уравнение готово.
На этом можно было бы закончить урок. Однако многие ученики постоянно забывают, что стоит внутри определителя. Например, в какой строчке стоит x 2 или x 3 , а в какой - просто x . Чтобы окончательно разобраться с этим, давайте проследим, откуда берется каждое число.
Откуда берется формула с определителем?
Итак, разбираемся, откуда возникает такое суровое уравнение с определителем. Это поможет вам запомнить его и успешно применять.
Все плоскости, которые встречаются в задаче C2, задаются тремя точками. Эти точки всегда отмечены на чертеже, либо даже указаны прямо в тексте задачи. В любом случае, для составления уравнения нам потребуется выписать их координаты:
M
= (x
1 , y
1 , z
1);
N
= (x
2 , y
2 , z
2);
K
= (x
3 , y
3 , z
3).
Рассмотрим еще одну точку на нашей плоскости с произвольными координатами:
T = (x , y , z )
Берем любую точку из первой тройки (например, точку M ) и проведем из нее векторы в каждую из трех оставшихся точек. Получим три вектора:
MN
= (x
2 − x
1 , y
2 − y
1 , z
2 − z
1);
MK
= (x
3 − x
1 , y
3 − y
1 , z
3 − z
1);
MT
= (x
− x
1 , y
− y
1 , z
− z
1).
Теперь составим из этих векторов квадратную матрицу и приравняем ее определитель к нулю. Координаты векторов станут строчками матрицы - и мы получим тот самый определитель, который указан в теореме:
Эта формула означает, что объем параллелепипеда, построенного на векторах MN , MK и MT , равен нулю. Следовательно, все три вектора лежат в одной плоскости. В частности, и произвольная точка T = (x , y , z ) - как раз то, что мы искали.
Замена точек и строк определителя
У определителей есть несколько замечательных свойств, которые еще более упрощают решение задачи C2 . Например, нам неважно, из какой точки проводить векторы. Поэтому следующие определители дают такое же уравнение плоскости, как и приведенный выше:
Также можно менять местами строчки определителя. Уравнение при этом останется неизменным. Например, многие любят записывать строчку с координатами точки T = (x ; y ; z ) в самом верху. Пожалуйста, если вам так удобно:
Некоторых смущает, что в одной из строчек присутствуют переменные x , y и z , которые не исчезают при подстановке точек. Но они и не должны исчезать! Подставив числа в определитель, вы должны получить вот такую конструкцию:
Затем определитель раскрывается по схеме, приведенной в начале урока, и получается стандартное уравнение плоскости:
Ax + By + Cz + D = 0
Взгляните на пример. Он последний в сегодняшнем уроке. Я специально поменяю строчки местами, чтобы убедиться, что в ответе получится одно и то же уравнение плоскости.
Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:
B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).
Итак, рассматриваем 4 точки:
B
1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D
1 = (0, 1, 1);
T
= (x
, y
, z
).
Для начала составим стандартный определитель и приравниваем его к нулю:
Раскрываем определитель:
a
= 0 · 1 · (z
− 1) + 1 · 0 · (x
− 1) + (−1) · (−1) · y
= 0 + 0 + y;
b
= (−1) · 1 · (x
− 1) + 1 · (−1) · (z
− 1) + 0 · 0 · y
= 1 − x
+ 1 − z
= 2 − x
− z;
d
= a
− b
= y
− (2 − x
− z
) = y
− 2 + x
+ z
= x
+ y
+ z
− 2;
d
= 0 ⇒ x
+ y
+ z
− 2 = 0;
Все, мы получили ответ: x + y + z − 2 = 0 .
Теперь давайте переставим пару строк в определителе и посмотрим, что произойдет. Например, запишем строчку с переменными x , y , z не внизу, а вверху:
Вновь раскрываем полученный определитель:
a
= (x
− 1) · 1 · (−1) + (z
− 1) · (−1) · 1 + y
· 0 · 0 = 1 − x
+ 1 − z
= 2 − x
− z;
b
= (z
− 1) · 1 · 0 + y
· (−1) · (−1) + (x
− 1) · 1 · 0 = y;
d
= a
− b
= 2 − x
− z
− y;
d
= 0 ⇒ 2 − x
− y
− z
= 0 ⇒ x
+ y
+ z
− 2 = 0;
Мы получили точно такое же уравнение плоскости: x + y + z − 2 = 0. Значит, оно действительно не зависит от порядка строк. Осталось записать ответ.
Итак, мы убедились, что уравнение плоскости не зависит от последовательности строк. Можно провести аналогичные вычисления и доказать, что уравнение плоскости не зависит и от точки, координаты которой мы вычитаем из остальных точек.
В рассмотренной выше задаче мы использовали точку B 1 = (1, 0, 1), но вполне можно было взять C = (1, 1, 0) или D 1 = (0, 1, 1). В общем, любую точку с известными координатами, лежащую на искомой плоскости.
Все уравнения плоскости, которые разобраны в следующих пунктах могут быть получены из общего уравнения плоскости, а также приведены к общему уравнению плоскости. Таким образом, когда говорят об уравнении плоскости, то имеют в виду общее уравнение плоскости, если не оговорено иное.
Уравнение плоскости в отрезках.
Уравнение плоскости вида , где a , b и c – отличные от нуля действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках .
Такое название не случайно. Абсолютные величины чисел a , b и c равны длинам отрезков, которые отсекает плоскость на координатных осях Ox , Oy и Oz соответственно, считая от начала координат. Знак чисел a , b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) следует откладывать отрезки на координатных осях.
Для примера построим в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, определенную уравнением плоскости в отрезках . Для этого отмечаем точку, удаленную на 5 единиц от начала координат в отрицательном направлении оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении оси аппликат. Осталось соединить эти точки прямыми линиями. Плоскость полученного треугольника и есть плоскость, соответствующая уравнению плоскости в отрезках вида .
Для получения более полной информации обращайтесь к статье уравнение плоскости в отрезках , там показано приведение уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости, там же Вы также найдете подробные решения характерных примеров и задач.
Нормальное уравнение плоскости.
Общее уравнение плоскости вида называют нормальным уравнением плоскости , если равна единице, то есть, , и .
Часто можно видеть, что нормальное уравнение плоскости записывают в виде . Здесь - направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины, то есть , а p – неотрицательное число, равное расстоянию от начала координат до плоскости.
Нормальное уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz определяет плоскость, которая удалена от начала координат на расстояние p в положительном направлении нормального вектора этой плоскости . Если p=0 , то плоскость проходит через начало координат.
Приведем пример нормального уравнения плоскости.
Пусть плоскость задана в прямоугольной системе координат Oxyz общим уравнение плоскости вида . Это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости. Действительно, и нормальный вектор этой плоскости имеет длину равную единице, так как .
Уравнение плоскости в нормальном виде позволяет находить расстояние от точки до плоскости .
Рекомендуем более детально разобраться с данным видом уравнения плоскости, посмотреть подробные решения характерных примеров и задач, а также научиться приводить общее уравнение плоскости к нормальному виду. Это Вы можете сделать, обратившись к статье .
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Раздел 5. Аналитическая геометрия.
1. Различные уравнения плоскости в пространстве
2. Частные случаи общего уравнения плоскости
3. Взаимное расположение двух плоскостей
4. Расстояние от точки до плоскости
5. Различные уравнения прямой в пространстве
6. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
7. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
8. Различные уравнения прямой линии на плоскости
9. Геометрическая задача линейного программирования
Различные уравнения плоскости в пространстве.
В предыдущих параграфах говорилось о том, что каждой точке пространства ставится в соответствие упорядоченный набор чисел – её координаты. Естественно предположить, что если точки, обнаруживая некоторую закономерность, «выстраиваются» в виде некоторой линии или поверхности, то и их координаты также будут демонстрировать эту закономерность, удовлетворяя, как правило, некоторому уравнению, которое и называется уравнением этой линии, или поверхности.
Рассмотрим сначала пространство R 3 – реальное трёхмерное пространство (в котором мы живём). Простейшей поверхностью в пространстве является плоскость. Плоскость может быть задана различными способами, этим способам соответствуют различные формы уравнений этой плоскости. В частности, плоскость вполне
Определена, если известна какая-нибудь
|
(она называется опорной ), и какой-нибудь
вектор, от которого требуется лишь одно
Рис.1 – он должен быть перпендикулярен
плоскости. Такой вектор называется вектором нормали и обычно обозначается (см. рис. 1).
Составить уравнение плоскости – значит охарактеризовать некоторым уравнением все точки плоскости. Для этого берём из этого бесчисленного множества точек любую (так сказать, представителя этого множества) и составляем для неё (т.е. для её координат) на основе замеченной закономерности уравнение. Поскольку точка была любой, то это уравнение будет справедливым и для всех точек плоскости.
Возьмём произвольную точку М (см. рис.1). Теперь образуем вектор . Ясно, что . Воспользуемся условием перпендикулярности двух векторов – их скалярное произведение равно нулю:
(1)
Уравнение (1) называют векторным уравнением плоскости. Это уравнение справедливо в любой системе координат.
Рассмотрим теперь уравнение (1) в декартовой системе координат. Пусть точка М 0 имеет координаты , координаты вектора принято обозначать: . Т.к. точка М – произвольная, её координаты: , следовательно, . Тогда формула (1) примет вид
его будем называть уравнением плоскости с опорной точкой и вектором нормали. Раскроем скобки в уравнении (2):
Обозначив, получим
Уравнение (3) называется общим уравнением плоскости. Отсюда видно, что всякое уравнение первой степени представляет собой плоскость.
Хорошо известно, что три точки однозначно определяют плоскость.
|
|
некоторую плоскость (т.е. не лежат
М 3 на одной прямой). Составим
уравнение этой плоскости
Рис. 2 (см. рис.2). Для этого возьмём
произвольную точку М, лежащую в плоскости и рассмотрим три вектора Поскольку М принадлежит плоскости, векторы эти компланарны, а условием компланарности трёх векторов является равенство нулю их смешанного произведения:
Уравнение (4) – ещё одно векторное уравнение плоскости, справедливое для любой системы координат. В декартовой системе координат пусть , ; тогда
И уравнение (4) выглядит следующим образом:
X – x 1 y – y 1 z – z 1
x 2 – x 1 y 2 – y 1 z 2 – z 1 = 0 (5)
x 3 – x 1 y 3 – y 1 z 3 – z 1
Уравнение (5) называют уравнением плоскости, проходящей через три точки.
Пример 1 . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (1,2,-3) перпендикулярно вектору
Решение . Воспользовавшись уравнением (2), получим уравнение плоскости
Заметим, что в уравнении могут отсутствовать некоторые переменные.
Пример 2 . Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно вектору
Решение. Воспользуемся уравнением (2): Заметим, что в уравнении отсутствует свободный член (точнее, свободный член равен нулю).
Пример 3 . Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки А(1,1,3), В(0,2,3), С(1,5,7).
Решение. Воспользуемся уравнением (5):
Вычислим определитель разложением по первой строке:
5.2. Частные случаи общего уравнения плоскости.
Возьмём общее уравнение плоскости и рассмотрим несколько его частных случаев.
1) D = 0, т.е. уравнение плоскости имеет вид
(6)
Ясно, что этому уравнению всегда удовлетворяет точка О(0,0,0) – начало координат. Итак, если в уравнении плоскости свободный член равен нулю, то плоскость проходит через начало координат.
2) С = 0, т.е. уравнение плоскости имеет вид
(7)
Это означает, что вектор нормали имеет следующие координаты Нетрудно увидеть, что - вектор нормали перпендикулярен базисному вектору , т.е. оси oz, т.к. их скалярное произведение равно нулю: Теперь понятно,
что плоскость параллельна оси oz (рис.3).
Аналогично, если В = 0, то плоскость параллельна оси ОУ; если А = 0, то плоскость параллельна оси ОХ.
Итак, если в уравнении плоскости равен нулю коэффициент при некотором неизвестном, то плоскость параллельна одноименной оси координат.
3)Пусть равны нулю два параметра – свободный член и один коэффициент, например, С = = 0. Уравнение плоскости имеет вид
(8)
Из предыдущего ясно, что С =0 означает, что плоскость параллельна оси oz, а = 0 означает, что плоскость проходит через начало координат. Объединяя оба замечания, получаем, что плоскость проходит через ось oz.
Общий вывод: если в уравнении равны нулю свободный член и коэффициент при каком-нибудь неизвестном, то плоскость проходит через соответствующую ось координат.
4) Пусть равны нулю два коэффициента при неизвестных, например А = В =0, т.е. уравнение плоскости имеет вид
. (9)
Учитываем предыдущие рассуждения: если А = 0, то плоскость параллельна оси ОХ; если В = 0, то плоскость параллельна оси ОУ, следовательно, если
А = В = 0, то плоскость параллельна осям ОХ и ОУ, т.е. перпендикулярна оси
Z ОZ и отсекает на этой оси отрезок,
D/С равный – D/С (см. рис.4).
Отсюда следует:
х = 0 – уравнение координатной плоскости yoz,
у = 0 – уравнение координатной плоскости хоz,
z = 0 – уравнение координатной плоскости уоz.
5.3. Взаимное расположение двух плоскостей.
Взаимное расположение двух плоскостей определяется с помощью угла между ними (см. рис.5. Вообще говоря, можно увидеть два угла,
которые плоскости образуют
между собой – угол и
Дополнительный угол .
Один из них – острый, другой
|
Плоскостей оба угла совпадают).
Под углом между двумя плоскостями понимается всегда острый угол . Этот угол вычисляется с помощью угла между векторами нормалей (через скалярное произведение векторов нормалей):
(10)
На рис. 6 угол . Однако, в качестве вектора нормали к плоскости можно взять вектор . Тогда формула (10) даст косинус угла . Косинусы углов и будут отличаться лишь знаком. Поэтому, если мы хотим получить острый угол, то в формуле (10) скалярное произведение надо взять по абсолютной величине (по модулю):
(11)
Формулу (11) легко переписать в координатной форме. Пусть плоскости задаются уравнениями и . Таким образом, имеем два вектора нормалей: и По формуле (11) получим:
(12)
Теперь нетрудно получить два крайних случая: перпендикулярность и параллельность плоскостей. Если плоскости перпендикулярны, то
условие перпендикулярности плоскостей. Если плоскости параллельны, то векторы нормалей коллинеарны: , т.е. их координаты пропорциональны:
(14)
условие параллельности плоскостей.
Пример 4 . Даны три плоскости
Найти углы между этими плоскостями.
Решение . Имеем три вектора нормалей Нетрудно заметить, что , т.е. плоскости параллельны. Найдём угол между плоскостями
5.4. Расстояние от точки до плоскости.
Пусть требуется найти расстояние от
точки до плоскости.
Уравнение плоскости возьмём в виде
Уравнения с опорной точкой
И вектором нормали , т.е.
Как известно, расстояние равно длине перпендикуляра (рис. 5). Для наглядности начало вектора поместим в точку . Построим прямоугольник и увидим, что - проекции вектора на вектор нормали (см. рис. 5).
Вспоминаем определение скалярного произведения векторов:
(15)
Вновь замечаем, что на рис. 5 векторы образуют острый угол и потому является положительным числом. Если в качестве вектора нормали взять противоположный вектор (см. рис.5), то формула (15) даст отрицательное число, но расстояние есть число положительное, поэтому для расстояния d от точки до плоскости надо применять формулу
Распишем формулу (16) в координатной форме:
Скобку мы ранее обозначали буквой D. Поэтому получаем формулу
, - (17)
для нахождения расстояния от точки до плоскости заданной общим уравнением, надо в общее уравнение плоскости подставить координаты точки , поделить на длину вектора нормали и взять по модулю.
Пример 5 . Найти расстояние от точки до плоскости .
Решение . Воспользуемся формулой (17):
5.5. Различные уравнения прямой в пространстве.
Прямую линию в пространстве можно
Задать с помощью опорной точки , (т.е.
М точка лежит на прямой) и вектора , от
рис. 6 которого требуется одно – он должен
быть параллелен прямой. Такой вектор называется направляющим вектором прямой (см. рис. 6).
Для составления уравнения возьмём произвольную точку М, принадлежащую прямой, - получим вектор . Векторы и . – коллинеарны (параллельны), следовательно имеет место соотношение
где - некоторое число. Уравнение (18) называется векторным уравнением прямой. Оно будет справедливо в любом пространстве и не зависит от выбора системы координат.
Обозначим соответствующие координаты:
Тогда уравнение (18) имеет вид: или
Это обычно записывают в следующих формах:
(19)
Уравнения (19) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве ( - параметр).
Если из этих уравнений исключить параметр , то получим:
(20)
это так называемые канонические уравнения прямой в пространстве. От канонических легко перейти к параметрическим уравнениям прямой – достаточно все уравнения (20) приравнять параметру .
Важный для практики случай, когда прямая задаётся двумя точками , легко сводится к формуле (20), - стоит лишь заметить, что в качестве направляющего вектора можно взять вектор , а опорной точкой можно считать любую из них. Пусть тогда и опорной точкой возьмём , тогда из формулы (20) имеем:
(21)
Это уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две точки.
5.6. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Две прямые в пространстве могут
пересекаться, быть параллельными и
Скрещивающимися.
Пусть даны канонические уравнения двух прямых т.е. с опорными точками и направляющими векторами = .
Если т.е. , то прямые параллельны и даже могут совпадать. Подставим координаты опорной точки в уравнение прямой (или наоборот). Если точка лежит на прямой , то прямые совпадают, в противном случае – параллельны.
Пусть теперь т.е. векторы не параллельны (не коллинеарны). Тогда прямые могут пересекаться или скрещиваться. Как различить эти случаи? Делается это с помощью вектора (см. рис. 7). Ясно, что если прямые пересекаются, то векторы находятся в одной плоскости (точнее, они параллельны одной плоскости – компланарны). Условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения:
(22)
Итак, если и выполняется (22), то прямые пересекаются; в случае не выполнения равенства (22) прямые скрещиваются.
Заметим, что во всех рассмотренных случаях взаимного расположения прямых можно вычислять угол между прямыми. Угол между прямыми определяется с помощью скалярного произведения их направляющих векторов:
(23)
Числитель взят по модулю для того, чтобы (как и для плоскостей) угол получался острым (в крайнем случае прямым).
Пример 6 . Выяснить взаимное расположение трёх прямых:
Решение . По данным уравнениям определяем опорные точки и направляющие векторы:
Легко заметить, что следовательно, прямые или параллельны или совпадают. Подставим координаты точки в уравнение - получили неверные равенства, следовательно, параллельны.
Возьмём и проверим условие (22):
, следовательно, скрещиваются.
Теперь проверим условие (22) для
следовательно, пересекаются.
5.7. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Прямая и плоскость в пространстве могут пересекаться и тогда возникают вопросы нахождения угла между прямой и плоскостью и координатах точки их пересечения. Прямая и плоскость могут быть параллельными, в частном случае, прямая лежит в плоскости. Рассмотрим все эти случаи.
Угол между прямой и плоскостью (см. рис. 8) определяется с
Помощью вектора нормали
Плоскости и направляющего вектора
Прямой: и направляющего вектора прямой что на плоскости (в двумерном направляющий вектор прямой, М (х, у) – произвольная точка прямой.Если в уравнении (32) раскрыть скобки и обозначить
уравнение прямой с опорной точкой и вектором нормали.
(36)
где общее уравнение прямой на плоскости.
Угол между двумя прямыми можно вычислять привычным для нас способом – с помощью скалярного произведения направляющих векторов прямых или их векторов нормали. Если две прямые заданы каноническими уравнениями
И т.е. направляющие векторы прямых, то (см. рис.10)
(37)